الرياضة المالية للصف الثاني ( الباب الثاني )

الباب الثاني
الدفعات المتساوية بفائدة بسيطة



في الدرس السابق تعرفنا علي الفائدة البسيطة وهي فائدة مبلغ واحد لمدة محددة وفي الدرس التالي سوف نتعرف علي الدفعات وهي مبالغ متساوية القيمة تدفع بصفة دورية علي فترات زمنية متساوية

ومعادلة الدفعات ثابتة في الحالتين سواء دفعات السداد او دفعات الاستثمار
جملة الدفعات = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
حيث (د) هي الدفعه و(ن) هي عدد الدفعات (ع) معدل الفائدة (ش)مدة أول دفعه (شَ)مدة أخر دفعه

مثال1: يودع سليمان العزازي دفعة مبلغها 400 جنيه أول كل 3شهور لمدة سنتين بمعدل فائدة بسيطة 10%سنويا احسب جملة هذه الدفعات.
الحل
تمهيد للحل:
1- ن هي عدد الدفعات التي تدفع خلاي المدة كلها وهي = المدة بالشهور علي مدة الدفعه وفي هذا المثال ن = 24 شهر 3 = 8 دفعات
2- ش هي مدة أول دفعه وهي عبارة عن المده كاملة في حالة دفعات الاستثمار والمده – مدة دفعه واحدة في حالة دفعات السداد.
3- شَ هي مدة اخر دفعه وهي عبارة عن مدة دفعه في حالة دفعات الاستثمار اما اذا كانت الفعه سداد فان شَ تساوي صفر دائما.
د ع ن ش شَ
400 10%سنويا 24 3 = 8 24 3
جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 400 x 8 +400 x 10 x 8 ) 24 + 3)
100 2 12
جملة الدفعات = 3200 + 360 = 3560 جنيه




مثال2: احسب جملة الدفعات في المثال السابق اذا كانت الدفعة تدفع اخر كل 3 شهور.
الحل
د ع ن ش شَ
400 10%سنويا 24 3 = 8 24 -3 =21 صفر
جملة السداد = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 400 x 8 +400 x 10 x 8 ) 21 + صفر)
100 2 12
جملة الدفعات = 3200 + 280 = 3480 جنيه

مثال3: يودع عزت اسماعيل 800 جنيه في احد البنوك اوكل شهرين ويسحب من نفس البنك 500 جنيه أخر كل 3 شهور فاذا كان البنك يحسب فائدة بسيطة علي دفعات الايداع بمعدل 12% سنويا وعلي دفعات السحب بمعدل 14% سنويا فأحسب رصيد هذا التاجر في نهاية 3 سنوات.
الحل
أولا دفعات الايداع:-
د ع ن ش شَ
800 12%سنويا 36 2 = 18 36 2
جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 800 x 18 +800 x 12 x 18 ) 36 + 2)
100 2 12
جملة الدفعات = 14400 + 2736 = 17136 جنيه

ثانيا دفعات السحب:-
د ع ن ش شَ
500 14% سنويا 36 3 = 12 36 -3 =33 صفر
جملة السداد = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 500 x 12 +500 x 14 x 12 ) 33 + صفر)
100 2 12
جملة الدفعات = 6000 + 1155 = 7155 جنيه
رصيد التاجر في نهاية 3 سنوات = 17136 – 7155 = 9981 جنيه

مثال4: يودع ثروت سليمان 300 جنيه اول كل شهر في احد البنوك في حساب ابنه احمد ويودع في نفس البنك 200 جنيه اخر كل شهرين لأبنه اسلام فاذا علمت ان معدل الفائدة البسيطة 10% سنويا احسب رصيد كل من احمد واسلام في نهاية عام.
الحل
أولا رصيد احمد :-
د ع ن ش شَ
300 10%سنويا 12 12 1

جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 300 x 12 +300 x 10 x 12 ) 12 + 1)
100 2 12
جملة الدفعات = 3600 + 195 = 3795 جنيه
ثانيا رصيد اسلام:-
د ع ن ش شَ
200 10%سنويا 12 2 = 6 12 - 2 =10 صفر

جملة السداد = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 200 x 6 +200 x 10 x 6 ) 10 + صفر)
100 2 12
جملة الدفعات = 1200 + 50 = 1250 جنيه

مثال5: يودع عبده حسن 200 جنيه في بنك اول ومنتصف كل شهر من الشهور الستة الأولي من عام 2010 ثم اخذ يودع في نفس البنك 500 جنيه اخر كل شهرين من الشهور الباقية من نفس العام والمطلوب رصيده في نهاية العام المذكور علما بأن معدل الفائدة البسيطة 14%سنويا.
الحل
أولا حساب الفترة الأولي:-
في هذة الحالة توقف الشخص عن ايداع الدفعه بعد الشهر السادس ولذلك تضاف باقي المدة وهي 6 أشهر(لأن المده عام) الي ش و شَ وتسمي دفعات توقف وذلك كالتالي:
د ع ن ش شَ
200 14%سنويا 12 6+6=12 5. +6= 6.5
جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 200 x 12 +200 x 14 x 12 ) 12 + 6.5)
100 2 12
جملة الدفعات = 2400 + 259 = 2659 جنيه

ثانيا حساب الفترة الثانية:-
د ع ن ش شَ
500 14%سنويا 6 2 = 3 6 - 2 =4 صفر
جملة السداد = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
جملة الدفعات = 500 x 3 +500 x 14 x 3 ) 4 + صفر)
100 2 12
جملة الدفعات = 1500 + 35 = 1535 جنيه
الرصيد في نهاية العام = 2659 + 1535 = 4194 جنيه


إيجاد عوامل الدفعات (الدفعة والمعدل)


مثال1: يودع محمد عوض دفعة عادية ربع سنوية في بنك مصر لمدة سنة ونصف حصل في نهايتها علي فوائد قدرها 108 جنيه فاذا كان معدل الفائدة البسيطة 9%سنويا فما مقدار الدفعه.
الحل
د ع ن ش شَ ف السداد
؟ 9%سنويا 18 3 = 6 18 - 2 =15 صفر 108
فائدة السداد = د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
108 = د x 9 x 6 ) 15 + صفر)
100 2 12
108 = د x 3375.
د = 108 = 320 جنيه
3375.
مثال2:أودع عبدالرحمن عبدالحق دفعه عادية كل شهرين في بنك لمدة عامين ونصف لتستثمر بفائدة بسيطة بمعدل 12.6%سنويا وقد وجد انه او أوده هذه الدفعات اول كل شهرين لزادت الجملة بمقدار 63 جنيه فما قيمة الدفعه.
الحل
الفرق بين الجملتين = فائدة دفعه واحدة للمدة كلها أي ان
63 = أ x ع x ن
63 = أ x 12.6 x 2.5
100
أ = 63 x 100 = 200 جنيه
12.6 x2.5

مثال3: يودع موظف ربع مرتبه اول كل شهر فيبنك ويحتسب البنك فائدة بمعدل 11.1%سنويا وفي نهاية عام بلغت جملة ما اودعه 2035.44 جنيه اوجد مرتبه الشهري.
الحل
د ع ن ش شَ جملة الدفعات
؟ 11.1%سنويا 12 12 1 2035.44
جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
2035.44= د x 12 +د x 11.1 x 12 ) 12 + 1)
100 2 12
2035.44 = 12 د + 0.7215 د = 12.7215 د
د = 2035.44 = 160 جنيه
12.7215
مرتبه الشهري = 160 x 4 = 640 جنيه

مثال4: دفعه فورية ثلث سنوية قدرها 240 جنيه بلغت جملتها في نهاية سنتين 1519.2 جنيه اوجد معدل الفائدة البسيطة السنوي المستخدم.
الحل
د ع ن ش شَ جملة الدفعات
240 ؟ 24 4 =6 24 4 1519.2
جملة الاستثمار = د x ن + د x ع x ن ) ش + شَ)
2 12
1519.2= 240 x 6 + 240 x ع x 6 ) 24 + 4)
2 12
1519.2 = 1440 + 1680 ع
1519.2 – 1440 = 1680ع
151.2 = 1680ع
ع = 151.2 = 0.09 المعدل = 9%سنويا
1680
تمارين علي الدفعات
1- - اختر الاجابة الصحيحة مما بين القوسين:-
أ‌- ش في حالة دفعات الاستثمار = (المدة كلها / المدة كلها – مدة دفعه / المدة كلها + مدة دفعه(
ب‌- ش في حالة دفعات السداد = (المدة كلها / المدة كلها – مدة دفعه / المدة كلها + مدة دفعه(
جـ- شَ في حالة دفعات الاستثمار = (صفر / مدة دفعه / المدة كلها - مدة دفعه(
د- شَ في حالة دفعات السداد = (صفر / مدة دفعه / المدة كلها - مدة دفعه)
هـ- عدد الدفعات = المدة كلها بالشهور ........... مدة دفعه (= / + / - / )
- 2- في حالة تساوي مبلغ الدفعه والمعدل والمدة اكمل الأتي بوضع علامة من العلامات (أكبر من / أصغر من / يساوي(
- 1- جملة دفعات الاستثمار.......... جملة دفعات السداد
2- - عدد دفعات الاستثمار.......... عدد دفعات السداد
- 3- الفرق بين الجملتين.............الفرق بين الفائدتين
4- - مجموع فوائد دفعات السداد..............مجموع فوائد دفعات الاستثمار
- 5- ش في حالة دفعات السداد.................. ش في حالة دفعات الاستثمار
- 6- الفرق بين الفائدتين...............فائدة دفعة للمدة كلها
- 7- شَ في حالة دفعات السداد.................. شَ في حالة دفعات الاستثمار
- 3- أوجد جملة المستحق لشخص يدفع 360 جنيه أخر كل دشهور في بنك لمدة سنتين بمعدل فائدة بسيطة 11.4%سنويا.
4- - يودع تاجر في بنك 500 جنيه اول كل شهر ويقوم البنك نيابة عنه بدفع مبلغ 800 جنيه أخر كل 3 شهور لشركة تأمين فاذا كان البنك يحسب فائدة بسيطة علي المودعات بمعدل 12%سنويا وعلي المسحوبات بمعدل 13.2%سنويا فأحسب رصيد هذا التاجر في نهاية 3 سنوات.
- 5- يودع شخص في بنك 500 جنيه اول كل شهرين بفائدة بسيطة معدلها 14% سنويا وفي نهاية سنتين توقف عن الايداع وسحب مما له في البنك مبلغ ما وترك الباقي ليستثمر بنفس المعدل فبلغ رصيده بالبنك بعد 84 يوم من السحب 6196 جنيه فما مقدار المبلغ المسحوب.
- 6- يودع موظف اول كل شهر ربع مرتبه في بنك بفائدة بسيطة بمعدل 14%سنويا وفي نهاية سنة كانت الجملة المستحقة له 1936.5 جنيه فما أصل مرتبه.
- 7- يودع شخص 300 وجد في نهاية سنتين ان رصيده قد بلغ 2778 جنيه فكم كان معدل الفائدة البسيطة السنوي.
- 8- يودع ماهر دفعة متساوية في بنك حلوان اول كل 3شهور بفائدة بسيطة معدلها 15%سنويا وفي نهاية 4 سنوات حصل علي فوائد قدرها 1785 جنيه فما مقدار الدفعه.
9- - احسب قيمة الدفعة المتساوية التي تودع في بنك مصر اخر كل شهر بمعدل فائدة بسيطة 14%سنويا اذا علمت ان جملتها في نهاية سنة كاملة بلغت 1915.5 جنيه.
10- اودع شخص دفعه فورية ثلت سنوية في بنك بفائدة بسيطة معدلها 9.25%سنويا وجد في نهاية سنتين انه لو كانت هذه الدفعات عادية لنقصت جملتها بمقدار 27.75 جنيه فما مقدار الدفعه0
- 11- يودع شخص 300 جنيه في بنك اول كل 3 شهور وجد في نهاية سنتين ان رصيده قد بلغ 2778 جنيه فكم كان معدل الفائدة البسيطة السنوي.
- 12- يودع شخص 600 جنيه اول كل شهرين في بنك ويسحب من نفس البنك 150 جنيه في منتصف كل شهر فاذا كان البنك يحسب فائدة بسيطة علي المودعات بمعدل 11%سنويا وعلي المسحوبات بمعدل 12.5%سنويا فالمطلوب ايجاد رصيد هذا الشخص في نهاية سنة ونصف من تاريخ ايداع اول دفعه.